Σύνολα

Σύνολα *Σύνολο:* Μία συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. *Τυπικός Συμβολισμός Συνόλου:* S={a, b, c}, όπου a, b, c τα μέλη ή στοιχεία του συνόλου ή S={x \| το x έχει κάποιες ιδιότητες}. *Παρατηρήσεις:* α) το κενό σύνολο β) διάταξη στοιχείων γ) διακεκριμένα μέλη *Σχέσεις συνόλων* P Ν Q : το P είναι υποσύνολο του Q εάν κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q. P = Q : το P είναι ίσο με το Q εάν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία. P Μ Q : το P είναι γνήσιο υποσύνολο εάν το P είναι υποσύνολο του Q και P δεν είναι ίσο με το Q. *Συνδυασμοί Συνόλων* P(A): Το δυναμοσύνολο του Α είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα υποσύνολα του Α Αρχή του Εγκλεισμού και του Αποκλεισμού: Για την ένωση δύο συνόλων
Έστω τα σύνολα Α₁ και Α₂ με πληθικούς αριθμούς \|A₁\| και \|A₂\| αντίστοιχα. Θα υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό της ένωσης \|A₁ΘA₂\| των δύο συνόλων.
Αν τα δύο σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία τότε προφανώς ισχύει \|A₁ΘA₂\|=\|A₁\|+\|A₂\|. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο σύνολα έχουν κοινά στοιχεία. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₂ είναι \|A₁ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\| ενώ θα έπρεπε να καταμετρηθεί μόνο μία φορά. Για το λόγο αυτό από το \|A₁\|+\|A₂\| θα πρέπει να αφαιρέσουμε την ποσότητα \|A₁ΗA₂\|. Ο τύπος υπολογισμού που προκύπτει από τα παραπάνω είναι: Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που τα δύο σύνολα δεν τέμνονται, αφού τότε θα ισχύει \|A₁ΗA₂\|=0. Για την ένωση τριών συνόλων
Έστω τα σύνολα Α₁, Α₂ και Α₃ με πληθικούς αριθμούς \|A₁\|, \|A₂\| και \|A₃\| αντίστοιχα. Θα υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό της ένωσης \|A₁ΘA₂ΘA₃\| των τριών συνόλων.
Αν τα τρία σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία τότε προφανώς ισχύει \|A₁ΘA₂ΘA₃\|=\|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ας υποθέσουμε ότι τα τρία σύνολα έχουν κοινά στοιχεία. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₂ είναι \|A₁ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₃ είναι \|A₁ΗA₃\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₂ και Α₃ είναι \|A₂ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Για το λόγο αυτό από το \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\| θα πρέπει να αφαιρέσουμε τις ποσότητες \|A₁ΗA₂\|, \|A₁ΗA₃\| και \|A₂ΗA₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁, Α₂ και Α₃ είναι \|A₁ΗA₂ΗA₃\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί τρεις φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Αφού όμως: τα στοιχεία του συνόλου A₁ΗA₂ΗA₃ έχουν καταμετρηθεί από μία φορά σε κάθε μία από τις ποσότητες \|A₁ΗA₂\|, \|A₁ΗA₃\| και \|A₂ΗA₃\|. Συνεπώς ένας τύπος της μορφής: θα ήταν ελλιπής γιατί με αυτόν δεν θα είχαμε καταμετρήσει τα στοιχεία του συνόλου A₁ΗA₂ΗA₃. Άρα ο σωστός τύπος είναι της μορφής: Για την ένωση r συνόλων Γενικά για τα σύνολα Α₁, Α₂, …, Α_rισχύει η παρακάτω σχέση: Παράδειγμα: Να γραφεί η αρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού για την ένωση τεσσάρων συνόλων. Παράδειγμα: Να προσδιοριστεί ο αριθμός των ακεραίων μεταξύ 1 και 250 οι οποίοι διαιρούνται από καθέναν από τους ακεραίους 2,3, και 5. Έστω Α₁ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 2, Α₂ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 3 και Α₃ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 5. Είναι προφανές ότι ο αριθμός που αναζητούμε είναι το \|A₁Θ A₂Θ A₃\|. Έχουμε τα παρακάτω: Εφαρμόζοντας την αρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού: οδηγούμαστε στο παρακάτω αποτέλεσμα:

Σύνολα *Σύνολο:* Μία συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. *Τυπικός Συμβολισμός Συνόλου:* S={a, b, c}, όπου a, b, c τα μέλη ή στοιχεία του συνόλου ή S={x \| το x έχει κάποιες ιδιότητες}. *Παρατηρήσεις:* α) το κενό σύνολο β) διάταξη στοιχείων γ) διακεκριμένα μέλη *Σχέσεις συνόλων* P Ν Q : το P είναι υποσύνολο του Q εάν κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q. P = Q : το P είναι ίσο με το Q εάν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία. P Μ Q : το P είναι γνήσιο υποσύνολο εάν το P είναι υποσύνολο του Q και P δεν είναι ίσο με το Q. *Συνδυασμοί Συνόλων* P(A): Το δυναμοσύνολο του Α είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα υποσύνολα του Α Αρχή του Εγκλεισμού και του Αποκλεισμού: Για την ένωση δύο συνόλων
Έστω τα σύνολα Α₁ και Α₂ με πληθικούς αριθμούς \|A₁\| και \|A₂\| αντίστοιχα. Θα υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό της ένωσης \|A₁ΘA₂\| των δύο συνόλων.
Αν τα δύο σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία τότε προφανώς ισχύει \|A₁ΘA₂\|=\|A₁\|+\|A₂\|. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο σύνολα έχουν κοινά στοιχεία. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₂ είναι \|A₁ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\| ενώ θα έπρεπε να καταμετρηθεί μόνο μία φορά. Για το λόγο αυτό από το \|A₁\|+\|A₂\| θα πρέπει να αφαιρέσουμε την ποσότητα \|A₁ΗA₂\|. Ο τύπος υπολογισμού που προκύπτει από τα παραπάνω είναι: Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που τα δύο σύνολα δεν τέμνονται, αφού τότε θα ισχύει \|A₁ΗA₂\|=0. Για την ένωση τριών συνόλων
Έστω τα σύνολα Α₁, Α₂ και Α₃ με πληθικούς αριθμούς \|A₁\|, \|A₂\| και \|A₃\| αντίστοιχα. Θα υπολογίσουμε τον πληθικό αριθμό της ένωσης \|A₁ΘA₂ΘA₃\| των τριών συνόλων.
Αν τα τρία σύνολα δεν έχουν κοινά στοιχεία τότε προφανώς ισχύει \|A₁ΘA₂ΘA₃\|=\|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ας υποθέσουμε ότι τα τρία σύνολα έχουν κοινά στοιχεία. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₂ είναι \|A₁ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁ και Α₃ είναι \|A₁ΗA₃\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₂ και Α₃ είναι \|A₂ΗA₂\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί δύο φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Για το λόγο αυτό από το \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\| θα πρέπει να αφαιρέσουμε τις ποσότητες \|A₁ΗA₂\|, \|A₁ΗA₃\| και \|A₂ΗA₃\|. Ο αριθμός των κοινών στοιχείων των Α₁, Α₂ και Α₃ είναι \|A₁ΗA₂ΗA₃\|. Κάθε ένα από τα στοιχεία αυτά έχει καταμετρηθεί τρεις φορές στο \|A₁\|+\|A₂\|+\|A₃\|. Αφού όμως: τα στοιχεία του συνόλου A₁ΗA₂ΗA₃ έχουν καταμετρηθεί από μία φορά σε κάθε μία από τις ποσότητες \|A₁ΗA₂\|, \|A₁ΗA₃\| και \|A₂ΗA₃\|. Συνεπώς ένας τύπος της μορφής: θα ήταν ελλιπής γιατί με αυτόν δεν θα είχαμε καταμετρήσει τα στοιχεία του συνόλου A₁ΗA₂ΗA₃. Άρα ο σωστός τύπος είναι της μορφής: Για την ένωση r συνόλων Γενικά για τα σύνολα Α₁, Α₂, …, Α_rισχύει η παρακάτω σχέση: Παράδειγμα: Να γραφεί η αρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού για την ένωση τεσσάρων συνόλων. Παράδειγμα: Να προσδιοριστεί ο αριθμός των ακεραίων μεταξύ 1 και 250 οι οποίοι διαιρούνται από καθέναν από τους ακεραίους 2,3, και 5. Έστω Α₁ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 2, Α₂ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 3 και Α₃ το σύνολο ακεραίων που διαιρούνται με το 5. Είναι προφανές ότι ο αριθμός που αναζητούμε είναι το \|A₁Θ A₂Θ A₃\|. Έχουμε τα παρακάτω: Εφαρμόζοντας την αρχή του εγκλεισμού και του αποκλεισμού: οδηγούμαστε στο παρακάτω αποτέλεσμα: